Question

14．某校高一（1）（2）两个班联合开展“诗词大会进校园，国学经典润心田”古诗词竞赛主题班会活动，主持人从这两个班分别随机选出20名同学进行当场测试，他们的测试成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分组，分别用频率分布直方图与茎叶图统计如图（单位：分）：

（2）班20名学生成绩茎叶图：

4	5
5	2
6	4 5 6 8
7	0 5 5 8 8 8 8 9
8	0 0 5 5
9	4 5

（Ⅰ）分别计算两个班这20名同学的测试成绩在[80，90）的频率，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）分别从两个班随机选取1人，设这两人中成绩在[80，90）的人数为X，求X的分布列（频率当作概率使用）．
（Ⅲ）运用所学统计知识分析比较两个班学生的古诗词水平．

Answer 1

分析 （I）根据面积之和等于1计算（1）班成绩在[80，90）的频率；直角根据公式计算（2）班成绩在[80，90）的频率；
（II）利用组合数公式计算概率；
（III）根据数据的集中程度得出结论．

解答 解：（I）（1）班的同学成绩在[80，90）的频率为：1-（0.005+0.015+0.005+0.02+0.015）×10=0.4，
（2）班的同学成绩在[80，90）的频率为：$\frac{4}{20}$=0.2．
补全频率分布直方图如下：

（II）（1）班成绩在[80，90）上的人数有20×0.4=8人，（2）班成绩在[80，90）上的人数有4人，
∴X的可能取值为0，1，2．
P（X=0）=$\frac{{C}_{12}^{1}{•C}_{16}^{1}}{{C}_{20}^{1}{•C}_{20}^{1}}$=$\frac{12}{25}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{•C}_{16}^{1}{+C}_{12}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{1}{•C}_{20}^{1}}$=$\frac{11}{25}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{1}{•C}_{20}^{1}}$=$\frac{2}{25}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{12}{25}$	$\frac{11}{25}$	$\frac{2}{25}$

（III）由频率分布直方图看，（1）班的主要成绩集中在[70，100）上，
从茎叶图看，（2）班的主要成绩集中在（60，80）上，
故（1）班的古诗词水平好于（2）班的古诗词水平．

点评 本题考查了频率分布直方图，茎叶图，离散型随机变量的分布列，属于中档题．