Question

己知实数a使得只有一个实数x满足关于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，求满足条件的所有的实数a的值

 

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Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：将绝对值符号去掉，问题转化为有且只有一个实数x使x²+2ax+3a≤2成立，利用相应二次函数可知函数y=x²+2ax+3a-2的图象与x轴相切，从而使问题得解．

解答： 解：∵|x²+2ax+3a|≤2，即-2≤x²+2ax+3a≤2．
又∵只有一个实数x满足关于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，
∴有且只有一个实数x使x²+2ax+3a≤2成立．
即有且只有一个实数x使x²+2ax+3a-2≤0成立，
∴可知函数y=x²+2ax+3a-2的图象与x轴相切．
∴根的判别式=4a²-4（3a-2）=0，所以a²-3a+2=0
∴a=1或2．
故答案为：1或2．

点评：本题的考点是一元二次不等式的应用，主要考查一元二次不等式的解法，考查三个二次之间的关系，有一定的综合性．