Question

已知三棱锥D-ABC各棱长都相等（也称正四面体），E、F分别是BC、AD上的点．
（1）求证：直线AC与BD所成的角为90°；
（2）若E是BC的中点，求直线AE与BD所成角的余弦值；
（3）若AF：FD=CE：EB=3：2，设EF与AC、BD所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱锥的结构特征,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AC中点O，连接OD，OB，OD⊥AC，OB⊥AC，得出AC⊥面OBD，即可得证，
（2）根据向量运算

AE

•

BD

=

AE

•（

AD

-

AB

）=

3

2

a×a×

3

3

-

3

2

a×a×

3

2

=-

a2

4

，
得出cos＜

AE

，

BD

＞=

- a2 4

3 2 a×a

=-

3

6

，再用直线与直线的夹角求解．
（3）设棱长为5，作FM∥BD，连接ME，令FM=3，ME=2，运用向量得出EF=

13

，
运用勾股定理判断．

解答： 证明：（1）取AC中点O，连接OD，OB，
∵三棱锥D-ABC各棱长都相等（也称正四面体），E、F分别是BC、AD上的点．
∴OD⊥AC，OB⊥AC，
∵OB∩OD，
∴AC⊥面OBD，
∵DB?面OBD，
∴AC⊥BD，
即直线AC与BD所成的角为90，
（2）设棱长为a，
∴AE=

3

2

a，AD=a，AF=

a

2

，

BD

=

AD

-

AB

，
∴

AE

•

BD

=

AE

•（

AD

-

AB

）=

3

2

a×a×

3

3

-

3

2

a×a×

3

2

=-

a2

4

，
∴cos＜

AE

，

BD

＞=

- a2 4

3 2 a×a

=-

3

6

，
∴直线AE与BD所成角的余弦值为

3

6

．
（3）设棱长为5，作FM∥BD，连接ME，
∴α=∠FEM，β=∠EFM
∵AF：FD=CE：EB=3：2，

∴AF=3，FD=2，BE=2，EC=3，ME∥AC，
∴

MF

BD

═

3

5

，

ME

AC

=

2

5

，
∴FM=3，ME=2，
∵

FE

=

AE

-

AF

=

AB

+

BE

-

AF

，
∴（

FE

）²=（

AB

+

BE

-

AF

）²=

AF

²+

AB

²+

BE

²+2

AB

•

BE

-2

AB

•

AF

-2

BE

•

AF

=9+25+4+2×5×2×(-

1

2

)-2×5×3×

1

2

-0=13，
∴EF=

13

，
∴△EFM中，FM=3，ME=2，EF=

13

，
∴EF²=FM²+ME²，
∴∠FME=

π

2

，
∠FEM+∠EFM=

π

2

∴α+β=90°

点评：本题综合考查了运用向量的数量积，求解长度，夹角．解决空间直线的位置关系，属于中档题．