Question

过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点为M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线的标准方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）．把x=c代入可得y=±

b2

a

．由于左顶点M在以AB为直径的圆的内部，可得a+c＜

b2

a

，化简解出即可．

解答： 解：设双曲线的标准方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
把x=c代入可得y=±

b2

a

．
∵左顶点M在以AB为直径的圆的内部，
∴a+c＜

b2

a

，∴a²+ac＜c²-a²，
化为e²-e-2＞0，
解得e＞2．
则此双曲线的离心率e的取值范围为（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．

点评：本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，属于基础题．