Question

对于在区间A上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈A，恒有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在A上是接近的，否则称f（x）与g（x）在A上是非接近的．
（1）证明：函数f(x)=

1

3

x2+x与g(x)=

2

3

x+

1

3

在区间[-1，1]上是接近的；
（2）若函数f（x）=log_a（x-3a）与g(x)=loga

1

x-a

在区间[a+2，a+3]上是接近的，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：新定义

分析：（1）欲证明：函数f(x)=

1

3

x2+x与g(x)=

2

3

x+

1

3

在区间[-1，1]上是接近的；只须证明：当x∈[-1，1）时，|f(x)-g(x)|=|

1

3

x2+

1

3

x-

1

3

|≤

1

3

(|x|2+|x|+1)≤1即可；
（2）由于f（x）与g（x）在[a+2，a+3]上是接近的?对任意的x∈[a+2，a+3]，恒有

x-3a＞0 x-a＞0 |loga(x-a)(x-3a)|≤1

下面分别讨论此三个不等式恒成立的条件即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）证明：当x∈[-1，1)时，|f(x)-g(x)|=|

1

3

x2+

1

3

x-

1

3

|≤

1

3

(|x|2+|x|+1)≤1
故f（x）与g（x）在[-1，1]上是接近的   …（4分）
（2）f（x）与g（x）在[a+2，a+3]上是接近的?对任意的x∈[a+2，a+3]，恒有

x-3a＞0 x-a＞0 |loga(x-a)(x-3a)|≤1

…①…②…③
由①②恒成立⇒

a+2-3a＞0 a+2-a＞0 a＞0且a≠1

⇒0＜a＜1…（8分）
③恒成立?-1≤log_n（x-a）（x-3a）≤1（x∈[a+2，a+3]）?a≤(x-a)(x-3a)≤

1

a

(x∈[a+2，a+3])
由0＜a＜1知2a＜a+2，故函数ϕ（x）=（x-a）（x-3a）
在[a+2，a+3]上递增，因此有

ϕ(a+2)≥a ϕ(a+3)≤ 1 a 0＜a＜1

即

2(2-2a)≥a 3(3-2a)≤ 1 a 0＜a＜1

解之得：0＜a≤

9- 57

12

综上所述得a的取值范围是(0，

9- 57

12

]．…（14分）

点评：本题主要考查对数函数的性质和应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，解题时要注意函数恒成立的充要条件的合理运用．