Question

已知A是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的一个动点，弦AB．AC所在的直线分别过焦点F₁、F₂，且当AB⊥AC时，恰好有|

AF1

|=2|

AF2

|或2|

AF1

|=|

AF2

|．
（1）求双曲线C的离心率
（2）设

AF1

=λ1

F1B

，

AF2

=λ2

F2C

，试判断λ₁+λ₂是否为定值？若是，求出该定值，若不是，则求出λ₁+λ₂的取值范围．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合,双曲线的简单性质

专题：计算题

分析：（1）不妨设A在双曲线右支上，即|

AF1

|=2|

AF2

|，由AB⊥AC可得|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²结合|AF₁|-|AF₂|=2a，|F₁F₂|=2可求双曲线C的离心率e
（2）设A（x₀，y₀）B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）分别表示出

AF1

，

F1B

根据

AF1

=λ1

F1B

，整理x₁，y₁表达式代入双曲线的方程中，把（x₀，y₀）代入，两式相减可得x₀与λ₁的关系，同理可得x₀与λ₂的关系，进进而可求

解答： 解：（1）不妨设A在双曲线右支上，即|

AF1

|=2|

AF2

|，
∵AB⊥AC，∴△AF₁F₂为直角三角形，AF₁，AF₂为两直角边，∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²
又|AF₁|-|AF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴

1

e

=

|AF1|-|AF2|

|F2F2|

=

|AF2|

|F1F2|

=sin∠AF₁F₂=

1

5

∴双曲线C的离心率e=

5

（2）y由（1）可得双曲线的方程位为：

x2

a2

-

y2

4a2

=1即4x²-y²=4a²
设A（x₀，y₀）B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）
由

AF1

=λ1

F1B

，可得

- 5 a-x0=λ1(x1+ 5 a)    -y0=λ1y1

整理可得，

x1= - 5 a-x0 λ1 - 5 a y1= - y0 λ1

代入到双曲线整理可得，4(

5

a+x0+

5

λ1a)2-y02=4(λ1a)2
∵4x₀²-y₀²=4a²两式相减整理可得

5

x0=-(2λ1+3)a
同理可得，

5

x0=(2 λ2 +3)a
λ₁+λ₂=-3

点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及了椭圆的基本性质和利用向量的运算解决椭圆与直线的关系的问题，要求学生具有对知识的综合、整合的能力．