Question

5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，AA₁=1，点D为BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁
（2）设A₁B的中点为M，求三棱锥M-AC₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C交AC₁于N，则DN为△A₁BC的中位线，证出结论；
（2）V${\;}_{三棱锥M-A{C}_{1}D}$=$\frac{1}{2}$V${\;}_{三棱锥{B}_{1}-A{C}_{1}D}$．而V${\;}_{三棱锥{B}_{1}-A{C}_{1}D}$=V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{三棱锥A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{三棱锥{B}_{1}-ABD}$-V${\;}_{三棱锥{C}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，

解答 证明：（1）连结A₁C交AC₁于N，则DN为△A₁BC的中位线，∴DN∥A₁B，
∵DN?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁
（2）∵AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，∴AB⊥BC，∴V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$AB•BC•AA₁=2．
∵D是BC中点，∴V${\;}_{三棱锥{B}_{1}-ABD}$=V${\;}_{三棱锥{C}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{6}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$．
连结AB₁，则M是AB₁中点，∴V${\;}_{三棱锥M-A{C}_{1}D}$=$\frac{1}{2}$V${\;}_{三棱锥{B}_{1}-A{C}_{1}D}$．
∵V${\;}_{三棱锥{B}_{1}-A{C}_{1}D}$=V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{三棱锥A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{三棱锥{B}_{1}-ABD}$-V${\;}_{三棱锥{C}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴V${\;}_{三棱锥M-A{C}_{1}D}$=$\frac{1}{6}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，几何体体积计算，当要求几何体体积不好直接求时，用作差法求体积是常用方法．