Question

13．设e是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的离心率，且e∈（$\frac{1}{2}$，1），则实数k的取值范围是$（0，3）∪（\frac{16}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 对k分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数k的取值范围．

解答 解：由于椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1，
①若4＞k＞0，a²=4，b²=k，c²=4-k，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4-k}{4}$＞$\frac{1}{4}$，∴k＜3，
则有0＜k＜3；
②若k＞4，则a²=k，b²=4，c²=k-4，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{k-4}{k}$＞$\frac{1}{4}$，∴k＞$\frac{16}{3}$．
则有实数k的取值范围是$（{0，3}）∪（{\frac{16}{3}，+∞}）$．
故答案为：$（0，3）∪（\frac{16}{3}，+∞）$．

点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于中档题．