Question

10．已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），一条长度为4p的线段AB的两个端点A、B在抛物线C上运动，则线段AB的中点D到y轴距离的最小值为  （　　）

• A． 2p
• B． $\frac{5}{2}p$
• C． $\frac{3}{2}p$
• D． 3p

Answer 1

分析 l：x=-$\frac{p}{2}$，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d-$\frac{p}{2}$即可求解．

解答 解：由题意可得抛物线的准线l：x=-$\frac{p}{2}$
分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H
在直角梯形ABDC中，MH=$\frac{AC+BD}{2}$，
由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）
MH=$\frac{AF+BF}{2}$≥$\frac{AB}{2}$=2p
即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为2p，
∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为$\frac{1}{2}（4p-p）$=$\frac{3p}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查线段中点到y轴距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．