Question

15．数列{a_n}的前m项为${a_1}，{a_2}，…，{a_m}（{m∈{N^*}}）$，若对任意正整数n，有a_n+m=a_nq（其中q为常数，q≠0且q≠1），则称数列{a_n}是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{b_n}的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{b_n}前4t+2项的和等于$\frac{9}{2}•{3^t}-\frac{5}{2}$．（t为正整数）

Answer 1

分析 b_n的每4项求和的数列设为C_n，求b_n前4t项之和就是求C_n前t项之和．由于b_n是周期为4的似周期性等比数列，则$\frac{{B}_{n+4}}{{B}_{n}}$=3，所以$\frac{{C}_{n+1}}{{C}_{n}}$=3．由等比数列求和公式，即可得到所求和．

解答 解：把b_n的每4项求和的数列设为C_n，
也就是说 C₁=B₁+B₂+…+B₄，C_t=B_4t-3+B_4t-2+…+B_4t，
因此，求b_n前4t项之和就是求C_n前t项之和．
由于b_n是周期为4的似周期性等比数列，
则$\frac{{B}_{n+4}}{{B}_{n}}$=3，
所以$\frac{{C}_{n+1}}{{C}_{n}}$=3．
由等比数列求和公式，可得为c₁+c₂+c₃+…+c_t=$\frac{5（1-{3}^{t}）}{1-3}$
=$\frac{5}{2}$（3^t-1）．
这就是数列b_n前4t项之和，最后就是加上b_4t+1，b_4t+2这两项，
由于b_4t+1=b₁×3^t=3^t．b_4t+2=b₁×3^t=3^t．
因此，数列b_n前4t+2项和就是$\frac{5}{2}$（3^t-1）+3^t+3^t=$\frac{9}{2}•{3^t}-\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}•{3^t}-\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查数列与函数的综合、等比数列求和公式、新定义型问题的解决方法，考查运算求解能力、化归与转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．