Question

已知椭圆C₁的方程为

x2

4

+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有a=

3

，c=2，b=1．即可得到双曲线方程；
（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标运算，化简和整理得到k的不等式，解出求它们的交集即可．

解答： 解：（1）椭圆C₁的方程为

x2

4

+y²=1的左、右焦点为（-

3

，0），（

3

，0），
则C₂的左、右顶点为（-

3

，0），（

3

，0），
C₁的左、右顶点为（-2，0），（2，0），则C₂的左、右焦点为（-2，0），（2，0）．
则双曲线的a=

3

，c=2，b=1．
即有双曲线C₂的方程为：

x2

3

-y²=1；
（2）将直线l：y=kx+

2

，与双曲线方程联立，消去y得，
（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x₁x₂=

-9

1-3k2

，
且1-3k²≠0，△=72k²+36（1-3k²）＞0，即有k²≠

1

3

，k²＜1．
由

OA

•

OB

＞2得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+

2

）（kx₂+

2

）
=（1+k²）x₁x₂+

2

k（x₁+x₂）+2＞2，
即（1+k²）•

-9

1-3k2

+

2

k•

6 2 k

1-3k2

＞0，即

3(k2-3)

1-3k2

＞0，
即有

1

3

＜k²＜3，又有k²≠

1

3

，k²＜1．则有

1

3

＜k²＜1．
解得

3

3

＜k＜1或-1＜k＜-

3

3

．
故k的取值范围是（

3

3

，1）∪（-1，-

3

3

）．

点评：本题考查椭圆、双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查向量的数量积的坐标运算，考查化简整理的运算能力，属于中档题．