Question

已知f（t）=log₂t，t∈[

2

，8]，对于f（t）值域内的所有实数m，不等式x²+mx+4＞2m+4x恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由t∈[

2

，8]，得f（t）∈[

1

2

，3]，x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]，问题转化为g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒对于0，由此能求出x的取值范围．

解答： 解：∵t∈[

2

，8]，∴f（t）∈[

1

2

，3]
原题转化为：m（x-2）+（x-2）²＞0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）
当x=2时，不等式不成立．
∴x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]
问题转化为g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒大于0，
则：

g( 1 2 )＞0 g(3)＞0

，
解得：x＞2或x＜-1．

点评：本题考查x的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意对数性质的合理运用．