Question

已知函数f（x）=4ln（x-1）+

1

2

x²-（m+2）x+

3

2

-m（m为常数），
（1）当m=4时，求函数的单调区间；
（2）若函数y=f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）当m=4时，f（x）=4ln（x-1）+

1

2

x²-6x-

5

2

．f′（x）=

4

x-1

+x-6=

x2-7x+10

x-1

，分析导函数在定义域各区间上的符号，进而可得函数的单调区间；
（2）若函数y=f（x）有两个极值点，则f′（x）=

4

x-1

+x-（m+2）=

x2-(m+3)x+m+6

x-1

在定义域内有两个根，则

△=[-(m+3)]2-4(m+6)＞0 1-(m+3)+m+6＞0 m+3 2 ＞1

，解得实数m的取值范围．

解答： 解　依题意得，函数的定义域为（1，+∞）．
（1）当m=4时，f（x）=4ln（x-1）+

1

2

x²-6x-

5

2

．
f′（x）=

4

x-1

+x-6=

x2-7x+10

x-1

=

(x-2)(x-5)

x-1

．
令f′（x）＞0，解得x＞5，或1＜x＜2．
令f′（x）＜0，解得2＜x＜5．
可知函数f （x）的单调递增区间为（1，2）和（5，+∞），单调递减区间为（2，5）．
（2）f′（x）=

4

x-1

+x-（m+2）=

x2-(m+3)x+m+6

x-1

，
若函数y=f（x）有两个极值点，
则

△=[-(m+3)]2-4(m+6)＞0 1-(m+3)+m+6＞0 m+3 2 ＞1

解得m＞3．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的值，是函数与导数的综合应用，难度中档．