题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+2x+a，对于满足x1＜x2且x1+x2=1-a的任意实数x1与x2，总有f（x1）＜f（x2）成立，则实数a的取值范围为 ．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：若f（x1）＜f（x2）恒成立，故ax12+2x1+a＜ax12+2x1+a恒成立，结合x1＜x2且x1+x2=1-a，可得a（1-a）+2＞0恒成立，解得答案．
解答：
解：若f（x1）＜f（x2）恒成立，
故ax12+2x1+a＜ax12+2x1+a恒成立，
即ax12+2x1-（ax12+2x1）＜0恒成立，
即a（x1+x2）（x1-x2）+2（x1-x2）＜0恒成立，
∵x1＜x2且x1+x2=1-a，
∴a（1-a）+2＞0恒成立，即a2-a-2＜0恒成立，
解得a∈（-1，2），
又由a≠0，
∴a∈（-1，0）∪（0，2），
故答案为：（-1，0）∪（0，2）
故ax12+2x1+a＜ax12+2x1+a恒成立，
即ax12+2x1-（ax12+2x1）＜0恒成立，
即a（x1+x2）（x1-x2）+2（x1-x2）＜0恒成立，
∵x1＜x2且x1+x2=1-a，
∴a（1-a）+2＞0恒成立，即a2-a-2＜0恒成立，
解得a∈（-1，2），
又由a≠0，
∴a∈（-1，0）∪（0，2），
故答案为：（-1，0）∪（0，2）
点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据已知可得a（1-a）+2＞0，是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
△ABC中，若lga-lgc=lgsinB=-lg
且B∈(0，
)，则△ABC的形状是（ ）
| 2 |
| π |
| 2 |
| A、等边三角形 |
| B、等腰三角形 |
| C、等腰直角三角形 |
| D、直角三角形 |
已知集合A={1，2，3，4，5}，若x，y，z∈A，则x，y，z成等差数列的概率为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
设方程10-x=|lgx|的两根为x1，x2，则（ ）
| A、0＜x1x2＜1 |
| B、x1x2=1 |
| C、-1＜x1x2＜0 |
| D、1＜x1x2＜10 |
函数y=
+sinx的图象大致是（ ）
| x |
| 3 |
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |