Question

已知函数f（x）=x+xlnx．
（1）求函数f（x）的图象在点P（1，1）处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若不等式f（x）≥-x²+（a+1）x-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，将x=1代入求出斜率k，从而求出切线方程；
（2）令导函数大于0，解不等式从而求出函数的递增区间；
（3）问题转化为a≤x+lnx+

6

x

在（0，+∞）上恒成立，设g(x)=x+lnx+

6

x

，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=2+lnx，
切线的斜率k=f′（1）=2，
则切线方程为y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0； 
（2）由f′（x）＞0，2+lnx＞0，有x＞

1

e2

，
故函数f（x）的单调递增区间为(

1

e2

，+∞)；
（3）由f（x）≥-x²+（a+1）x-6在（0，+∞）上恒成立，
即xlnx≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，
亦即a≤x+lnx+

6

x

在（0，+∞）上恒成立，
设g(x)=x+lnx+

6

x

，
g′(x)=1+

1

x

-

6

x2

=

x2+x-6

x2

=

(x-2)(x+3)

x2

，
当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）是增函数，
当0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，
则g（x）的最小值为g（2）=5+ln2，则a≤5+ln2，
故实数a的取值范围是（-∞，5+ln2]．

点评：本题考查了求函数的切线方程问题，求函数的单调区间问题，考查了导数的应用，不等式恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．