Question

已知AB是圆O的直径，C，D是圆上不同两点，且CD∩AB=H，AC=AD，PA⊥圆O所在平面
（Ⅰ）求证：PB⊥CD；
（Ⅱ）若PB=2

2

，∠PBA=

π

4

，∠CAD=

2π

3

，求H到平面PBD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的性质

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由AB是圆O的直径知∠ACB=∠ADB=90°，从而证明PB⊥CD．（Ⅱ）过点P作PB的垂线，过点H作PB的垂线，分别交PB于点E，F；求出H到平面PBD的距离．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AC=AD，∴Rt△ACB≌Rt△ADB，∴AB⊥CD，
又∵PA⊥圆o所在平面，CD在圆o所在平面内，
∴PA⊥CD，
∵PA∩AB=A，∴CD⊥平面PAB，
∴PB⊥CD．
（Ⅱ）解：过点A作PB的垂线，过点H作PB的垂线，分别交PB于点E，F；
∵Rt△PAB中，∠PBA=45°，PB=2

2

，
∴PA=AB=2，∴AE=ABsin45°=

2

，
又∵∠CAB=∠DAB=60°，∴AC=AD=1，
∵CH⊥AH，∴AH=

1

2

，
∴BH=

3

2

，HD=

3

2

，BD=

3

，PD=

5

∴V_H-PBD=V_P-HDB=

1

3

×

1

2

×

3

2

×

3

2

×2=

3

4

，
S_△PBD=

1

2

×

3

×

5

=

15

2

，
∴H到平面PBD的距离为

3 3 4

15 2

=

3 5

10

．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理，同时考查了利用体积求高的方法，属于中档题．