Question

在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BO⊥AD于O，且AD=3BC=3BO，现将梯形沿BO折叠，使得△AOB所在平面与四边形OBCD所在平面互相垂直，连接AD、AC，E是AC中点．
（Ⅰ）求证：OE⊥CD；
（Ⅱ）若梯形ABCD的面积是4，求C-BOE的体积V_C-BOE；
（Ⅲ）求二面角E-OB-A的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由题意得OA⊥OB，平面AOB⊥平面OBCD，从而AO⊥平面OBCD，进而AO⊥CD，又CD⊥OC，由此能证明OE⊥CD．
（Ⅱ）设BC=x，由梯形ABCD的面积是4，知

(x+3x)x

2

=4，由AO⊥平面OBCD，能求出E到平面OBCD的距离，由此能求出三棱C-BOE的体积V_C-BOE．
（Ⅲ）取AB中点F，过F作FG⊥OB于G，连接EF，EG，由已知得∠EGF为二面角E-OB-A的平面角，由此能求出二面角E-OB-A的大小．

解答： （Ⅰ）证明：由题意得OA⊥OB，平面AOB⊥平面OBCD，
∴AO⊥平面OBCD，
∵CD⊆平面OBCD，∴AO⊥CD，
又∵AD=3BC=3BO，
∴OD=

2

OC=

2

CD，
∴CD⊥OC，
∵AO∩OC=O，∴CD⊥平面AOC，
又OE⊆平面AOC，∴OE⊥CD．
（Ⅱ）解：设BC=x，由梯形ABCD的面积是4，知

(x+3x)x

2

=4，
∴BC=OB=OA=

2

，
由（Ⅰ）知AO⊥平面OBCD，又E是AC中点，
∴E到平面OBCD的距离h=

OA

2

=

2

2

，
∴V_C-BOE=V_R-BOC=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

2

=

2

6

．
（Ⅲ）解：如图所示，取AB中点F，过F作FG⊥OB于G，
连接EF，EG，
∴EF∥BC∥OD，
∴EF⊥平面AOB，又OB⊆平面AOB，
∴OB⊥EF，∴OB⊥平面EFG，
又EG⊆平面EFG，∴OB⊥FG，
∴∠EGF为二面角E-OB-A的平面角，
∵AD=3BC=3BO，
设BC=1，
在Rt△EGF中，EF=FG=

1

2

，
∴tan∠EGF=

EF

FG

=1，∴∠EGF=

π

4

，
∴二面角E-OB-A的大小为

π

4

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．