Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据最小正周期公式以及正弦函数的单调增区间即可求出该问；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的单调性，根据单调性即可求出函数f（x）的最值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的最小正周期为：T=

2π

2

=π；
y=sinx的单调增区间为：[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z；
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

；
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（Ⅱ）对于f（x）的单调增区间令k=0得到区间[-

π

3

，

π

6

]，即f（x）在该区间上单调递增；
∴f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上单调递增，在(

π

6

，

π

4

]上单调递减；
∴f（x）的最大值为f(

π

6

)=2，f（-

π

6

）=-1，f(

π

4

)=

3

，
∴f（x）的最小值为-1．

点评：考查函数y=Asin（ωx+φ）的最小正周期的求法，正弦函数的单调区间，根据函数的单调性求函数最值．