Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2

，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2

，得a_n+1=a_n+sin

(n+1)π

2

，运用列举的方法，确定出周期，再求解数列的和即可得到答案．

解答： 解：由a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2

，
所以a_n+1=a_n+sin

(n+1)π

2

，
∴a₂=a₁+sinπ=1，a₃=a₂+sin

3π

2

=1-1=0，a₄=a₃+sin2π=0，a₅=a₄+sin

5π

2

=0+1=1，∴a₅=a₁=1
可以判断：a_n+4=a_n
数列{a_n}是一个以4为周期的数列，2014=4×503+2
因为S₂₀₁₄=503×（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁+a₂=503×（1+1+0+0）+1+1=1008，
故答案为：1008

点评：本题考查了函数的性质，与数列的求和相结合的题目，题目不难，但是很新颖．