Question

20．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点$E（{1，\frac{3}{2}}）$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率公式，求得a=2c，则b²=a²-c²=3c²，将E代入椭圆方程，即可求得a和c的值，即可求得椭圆方程；
（2）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），即可得出直线AP的方程，令x=2，即可得到点M的坐标，利用斜率计算公式即可得出k₁，k₂，再利用点P在椭圆上即可证明．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，则b²=a²-c²=3c²，将E代入椭圆方程：$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{9}{4×3{c}^{2}}=1$，解得：c=1，
则a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：由（1）可知：A（-2，0），B（2，0），设P（x₀，y₀）（y₀≠0），
则直线AP的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2）
令x=2得M（2，$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）
∴k₁=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，则k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴k₁k₂=$\frac{2{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$，
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，y₀²=$\frac{3（4-{x}_{0}^{2}）}{4}$
∴k₁k₂=$\frac{2{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{3}{2}$为定值．
∴k₁k₂为定值．

点评 本题考查椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式．考查计算能力，属于中档题．