Question

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若$tanA=\frac{1}{2}$，$tanB=\frac{1}{3}$，b=2，则tanC=-1，c=$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知及两角和的正切函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可求tanC的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，利用正弦定理即可得解c的值．

解答 解：∵$tanA=\frac{1}{2}$，$tanB=\frac{1}{3}$，b=2，
∴tanC=tan（π-A-B）=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=-1．
∵由$\frac{sinB}{\sqrt{1-si{n}^{2}B}}$=$\frac{1}{3}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，由$\frac{sinC}{\sqrt{1-si{n}^{2}C}}$=-1，可得：sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由正弦定理可得：c=$\frac{b•sinC}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案为：-1，2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．