Question

9．已知函数f（x）=g（x）-（a-1）lnx，g（x）=ax+$\frac{2a-1}{x}$+1-3a+（a-1）lnx．
（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若不等式g（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求导数，确定切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）求出函数的导数，分类讨论，利用g′（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，即可得出结论．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（2）=$\frac{3}{4}$，f（2）=$\frac{1}{2}$，
∴函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$（x-2），
即3x-4y-4=0；
（2）g′（x）=$\frac{a（x-1）[x-（\frac{1}{a}-2）]}{{x}^{2}}$，
0＜a＜$\frac{1}{3}$时，g′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{a}$-2，
令g′（x）＜0，得1＜x＜$\frac{1}{a}$-2，
∴g（x）在（1，$\frac{1}{a}$-2）上是减函数，
∴x∈（1，$\frac{1}{a}$-2），g（x）＜g（1）=0，
与g（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立矛盾，
a≥$\frac{1}{3}$，g′（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，
g（x）在[1，+∞）为增函数，
∴g（x）≥g（1）=0，符合题意，
综上所述，a≥$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．