Question

已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点,且它的离心率.
 
(1)求椭圆的标准方程;
(2)与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.

Answer 1

(1);(2).

试题分析：（1）设椭圆的标准方程为，由已知得，解出即可求得a，b；
（2）由直线l：y=kx+t与圆（x+1）2+y2=1相切，可得k，t的关系式①，把y=kx+t代入
消掉y得x的二次方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由
得λ＝(x₁+x₂，y₁+y₂)，代入韦达定理可求得C点坐标，把点C代入椭圆方程可用k，t表示出λ，再由①式消掉k得关于t的函数，由t2范围可求得λ2的范围，进而求得λ的范围；.
试题解析：(1)设椭圆的标准方程为
由已知得:解得，所以椭圆的标准方程为:
(2)因为直线:与圆相切所以,
把代入并整理得:┈7分
设,则有

因为,,所以,
又因为点在椭圆上,所以,
因为所以
所以,所以的取值范围为