Question

在△ABC中，内角A，B，C及其所对应的边a，b，c满足：角C为钝角，c-b=2bcosA．
（Ⅰ）探究角A与B的关系；
（Ⅱ）若|AC|=

1

2

，求|BC|的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）由c-b=2bcosA及正弦定理可得sinC-sinB=2sinBcosA，又sinC=sin（A+B），可得sin（A-B）=sinB，从而求得A=2B．
（Ⅱ）由正弦定理得

|AC|

sinB

=

|BC|

sinA

=

|BC|

2sinB•cosB

，又|AC|=

1

2

，可得|BC|=cosB，由0＜B＜

π

6

，即可求得|BC|的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由c-b=2bcosA．得sinC-sinB=2sinBcosA   ①
在△ABC中，因为C=π-（A+B），所以sinC=sin（A+B）．
代入①式，得sin（A+B）-sinB=sinAcosB+sinBcosA-sinB=2sinBcosA，
整理得sin（A-B）=sinB
因为C为钝角，所以-

π

2

＜A-B＜

π

2

，，0＜B＜

π

2

，
所以A-B=B，
故A=2B．
（Ⅱ）由正弦定理得

|AC|

sinB

=

|BC|

sinA

=

|BC|

2sinB•cosB

又因为|AC|=

1

2

，所以|BC|=2|AC|cosB=cosB．
因为角C为钝角，所以0＜A+B=2B+B＜

π

2

，即0＜B＜

π

6

，
所以

3

2

＜cosB＜1
所以|BC|的取值范围为：(

3

2

，1)．

点评：本题主要考察了三角函数与解三角形等基础知识，考察了推理论证能力、运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．