Question

已知函数f（x）=

2

sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为

π

2

，求ω的值；
（2）在（1）的条件下，将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为

π

2

，确定函数的周期，即可求ω的值；
（2）利用三角函数的平移关系求出g（x）的表达式，由g（x）=0，求出零点方程即可得到结论．

解答： 解：（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为

π

2

，
则函数的周期T=2×

π

2

=π，
即

2π

ω

=π，解得ω=2；
（2）∵ω=2，∴函数f（x）=

2

sin2x，
将y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位得到y=

2

sin2（x-

π

6

），
再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=

2

sin2（x-

π

6

）+1=

2

sin（2x-

π

3

）-1．
由g（x）=

2

sin（2x-

π

3

）-1=0．
得sin（2x-

π

3

）=

1

2

=

2

2

．
即2x-

π

3

=2kπ+

π

4

或2x-

π

3

=2kπ+

3π

4

，
即x=kπ+

7π

24

或x=kπ+

13π

24

，
∵区间为[0，b]，
∴当k=0，1，2，3，4时，有10个零点，第10个零点为x=4π+

13π

24

=

109π

24

，
若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，
则b≥

109π

24

，
即b的最小值为

109π

24

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数图象变换，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．