Question

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数是28，中间两数的和是10，求这四个数．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：本题根据等差数列、等比数列的概念，利用等差数列、等比数列中的对称性质设出这四个数，以减少运算量．

解答： 解法一：设这四个数依次为a-d，a，a+d，

(a+d)2

a

，
由已知得

a-d+ (a+d)2 a =28 a+(a+d)=10

，
解得

a=2 d=6

或

a= 25 2 d=-15

．∴当a=4，d=6时，所求四个数为-2，4，10，25；
当a=

25

2

，d=-15时，所求四个数为

55

2

，

25

2

，-

5

2

，

1

2

．
故所求四个数为-2，4，10，25或

55

2

，

25

2

，-

5

2

，

1

2

．

点评：等比数列的“对称设项”方法为：当项数n为奇数时，先设中间一个数为a，再以公比为q向两边对称地依次设项即可，如三个数成等比数列，可设为

a

q

，a，aq；当项数n为偶数且公比大于0时，先设中间两个数为

a

q

和aq，再以公比为q²向两边对称地依次地设项即可，如四个数成等比数列可设为

a

q3

，

a

q

，aq，aq³，对称设项法的好处在于它具有对称性，特别是当已知数列的积时，利用对称设项法可很快地求出a，从而进一步减少了未知数的个数，该题是中档题．