Question

已知函数f（x）=2^x，若对于实数a，b，c有f（a+b）=f（a）+f（b），f（a+b+c）=f（a）+f（b）+3f（c），则实数c的值为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意得，2^a+b=2^a+2^b；2^a+b+c=2^a+2^b+3•2^c，利用换元法令2^a=M＞0，2^b=N＞0，从而求得MN≥4，（当且仅当M=N=2时，等号成立）；再化简2^c=

M+N

MN-3

=

MN

MN-3

=

1

1- 3 MN

≤4，从而求C．

解答： 解：由题意得，
2^a+b=2^a+2^b；
2^a+b+c=2^a+2^b+3•2^c，
令2^a=M＞0，2^b=N＞0，
则2^a+b=2^a+2^b可化为
MN=M+N≥2

MN

，
MN≥4，（当且仅当M=N=2时，等号成立）；
2^a+b+c=2^a+2^b+3•2^c可化为
MN2^c=M+N+3•2^c，
则2^c=

M+N

MN-3

=

MN

MN-3

=

1

1- 3 MN

≤4；
（当且仅当M=N=2时，等号成立）
故实数c的最大值为2；
故答案为：2．

点评：本题考查了函数的应用及换元法的应用，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．