Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1）在 x∈[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=

g(x)

x

．
（1）求a，b的值；
（2）在[-1，1]上，都有f（2^x）-k•2^x≥0成立，则k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而得到方程组，解出a，b的值即可；
（2）由题意得1+(

1

2x

)2-2•

1

2x

≥k，令

1

2x

=t，从而得到在[

1

2

，2]上k≤t²-2t+1恒成立，记φ（t）=t²-2t+1，求出φ（x）的最小值，从而得到k的范围．

解答： 解：（1）g（x）=a（x-1）²+1+b-a
当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数
故

g(3)=4 g(2)=1

，解得

a=1 b=0

，
当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数
故

g(3)=1 g(2)=4

，解得：

a=-1 b=3

，
∵b＜1，
∴a=1，b=0；
（2）由（1）即g（x）=x²-2x+1，
f（x）=x+

1

x

-2，
方程f（2x）-k•2^x≥0化为：
2^x+

1

2x

-2≥k•2^x，1+(

1

2x

)2-2•

1

2x

≥k，
令

1

2x

=t，k≤t²-2t+1，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

2

，2]，
记φ（t）=t²-2t+1∴φ（t）_min=0，
∴k∈（-∞，0]．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，考查了转化思想，是一道中档题．