题目内容

正四面体边长
2
a，外接球半径和内切球半径分别是多少？
考点：球内接多面体
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：如图，ABCD是棱长为
2
a的正四面体 作AO1⊥平面BCD于O1，则O1为△BCD的中心，求出AO1=
2
3
3
a．在平面ABO1内作AB的垂直平分线交AO1于O，求出AO=
3
2
a，从而求出正四面体的外接球半径和内切球半径．
解答： 解：如图，ABCD是棱长为
2
a的正四面体作AO1⊥平面BCD于O1，则O1为△BCD的中心，
则BO1=
6
3
a，
∴AO1=
2
3
3
a．
在平面ABO1内作AB的垂直平分线交AO1于O，则AO=BO=CO=DO，且O到平面BCD、ABC、ACD、ABD的距离相等
∴O是△ACD的内切球，外接球球心
∵
AO
AB
=
AE
AO1
，∴AO=
3
2
a．
∴OO1=AO1-AO=
2
3
3
a-
3
2
a=
3
6
a．
∴正四面体的外接球半径R=AO=
3
2
a，内切球半径r=OO1=
3
6
a．
点评：本题考查正四面体的外接球半径和内切球半径的求法，是中档题，解题时要注意合理的化空间问题为平面问题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=2x，若对于实数a，b，c有f（a+b）=f（a）+f（b），f（a+b+c）=f（a）+f（b）+3f（c），则实数c的值为
 
．
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+bn（b为常数），且对于任意的k∈N*，ak，a2k，a4k构成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＜
3
13
成立的n的最大值．
已知tan（α+β）=3，tan（α-β）=5，求tan2α，tan2β的值．
将函数y=sin（ωx-
π
6
）（ω＞0）的图象向右平移
π
4
个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为
 
．
已知sinα=
4
3
7
，cos（α-β）=
13
14
，且0＜β＜α＜
π
2
．
（1）求tan2α的值；
（2）是否可以确定β的值，若能，求出β值；若不能，说明理由．
求正整数集合中前n个奇数的和与前n个偶数的和．
已知函数f（x）=alnx+x2f′（1）+
∫
e
1
1
x
dx，且f′（2）=7．
（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）＞m对于x＞
1
e
恒成立，求实数m的取值范围．
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①f（x）=x2-2x+4；
②f（x）=|2x-1|；
③f（x）=ex-1；
④f（x）=ln（x+1）．
其中存在“增值区间”的函数有
 
 （填出所有满足条件的函数序号）．

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