题目内容
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，
=
．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=
，求△ABC周长的最小值．
| -2b-c |
| a |
| cosC |
| cosA |
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=
| 3 |
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式求出a的最小值，利用基本不等式求出b+c的最小值，即可确定出周长的最小值．
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式求出a的最小值，利用基本不等式求出b+c的最小值，即可确定出周长的最小值．
解答：
解：（1）△ABC中，
=
，
由正弦定理，得：
=
，
即-2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
∴-2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=-
，
则A=
；
（2）∵A=
，且S=
bcsinA=
bc=
，
∴bc=4，
由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc=12，
∴a≥2
，
又b+c≥2
=4，
当且仅当b=c=2时，a的最小值为2
，b+c的最小值为4，
则周长a+b+c的最小值为4+2
．
| -2b-c |
| a |
| cosC |
| cosA |
由正弦定理，得：
| -2sinB-sinC |
| sinA |
| cosC |
| cosA |
即-2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
∴-2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=-
| 1 |
| 2 |
则A=
| 2π |
| 3 |
（2）∵A=
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 3 |
∴bc=4，
由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc=12，
∴a≥2
| 3 |
又b+c≥2
| bc |
当且仅当b=c=2时，a的最小值为2
| 3 |
则周长a+b+c的最小值为4+2
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
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| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
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|
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