Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF，证明四边形ABGF为平行四边形，可得AF∥BG，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；
（Ⅱ）证明BG⊥DE，BG⊥CD，可得BG⊥平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论

解答： 证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．
∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=

1

2

DE．
又∵AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴四边形ABGF为平行四边形．
∴AF∥BG．
又BG?平面BCE，AF?平面BCE．
∴AF∥平面BCE．           
（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴AB⊥AF．
∵AB∥DE，∴AF⊥DE．    
又∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．    
∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．     
∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．  　 
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．

点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．