Question

在数列{a_n}中，a₁≠0，a_n+1=

3

a_n，S_n为{a_n}的前n项和．记R_n=

82Sn-S2n

an+1

，则数列{R_n}的最大项为第

 

项．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得R_n=

83-(3 n 2 + 82 3 n 2 )

3 -1

，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵a₁≠0，a_n+1=

3

a_n，
∴an=a1(

3

)n-1=a1•3

n-1

2

，an+1=a1•3

n

2

．
S_n=

a1(3 n 2 -1)

3 -1

，S_2n=

a1(3n-1)

3 -1

．
∴R_n=

82Sn-S2n

an+1

=

82a1(3 n 2 -1) 3 -1 - a1(3n-1) 3 -1

a1•3 n 2

=

83-(3 n 2 + 82 3 n 2 )

3 -1

≤

83-2 82

3 -1

，
比较R₃，R₄，R₅可得当n=4时，R_n取得最大值．
故答案为：4．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．