Question

已知点P（-4，0）及圆C：x²+y²+6x-4y+4=0．
（Ⅰ）当直线l过点P且与圆心C的距离为l时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|取得最小值时，求以线段AB为直径的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题

分析：（Ⅰ）把圆的方程变为标准方程后，分两种情况①斜率k存在时，因为直线经过点P，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k的值和P的坐标写出直线l的方程即可；②当斜率不存在时显然得到直线l的方程为x=-4；
（Ⅱ）点P（-4，0）为AB的中点时，|AB|取得最小值，从而写出所求圆的标准方程即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，圆的标准方程为：（x-3）²+（y+2）²=9，
①设直线l的斜率为k（k存在）
则方程为y-0=k（x+4）即kx-y+4k=0
又⊙C的圆心为（3，-2），r=3，
由

|-3k-2+4k|

k2+1

=1，得k=

3

4

所以直线方程为3x-4y+12=0；
②当k不存在时，直线l的方程为x=-4．
综上，直线l的方程为3x-4y+6=0或x=-4；
（Ⅱ）点P（-4，0）为AB的中点时，|AB|取得最小值，
∵|PC|=

5

，r=3，
∴|AB|_min=2

9-5

=4，
∴以线段AB为直径的圆的方程为：（x+4）²+y²=4．

点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，灵活运用垂径定理及韦达定理化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．