Question

已知函数：f（x）=lg|x|．请解答下列问题：
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）作出f（x）的大致图象并写出f（x）的单调递减区间；
（3）解方程：[f（x）]²-3f（x）-4=0．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且满足f（-x）=f（x），可得函数为偶函数．
（2）当x＞0时，函数f（x）=lg|x|=lgx，当x＜0时，函数f（x）的图象与x＞0时的图象关于y轴对称，根据图象求得函数f（x）的单调区间．
（3）由[f（x）]²-3f（x）-4=0可得[f（x）+1][f（x）-4]=0．得f（x）=-1或f（x）=4，进而得出lg|x|=-1或lg|x|=4，再求x．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=lg|x|，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
且满足f（-x）=lg|-x|=lg|x|=f（x），
故函数为偶函数．
（2）当x＞0时，函数f（x）=lg|x|=lgx，当x＜0时，函数f（x）的图象与x＞0时的图象关于y轴对称，图象如图：

显然（0，+∞）是f（x）在增区间，（-∞，0）是减区间．
 （3）由[f（x）]²-3f（x）-4=0可得[f（x）+1][f（x）-4]=0．
∴f（x）=-1或f（x）=4
∴lg|x|=-1或lg|x|=4，
∴|x|=

1

10

或|x|=10000，
∴x=±

1

10

或x=±10000．

点评：本题主要考查对数函数的单调性，判断函数的奇偶性的方法，属于基础题．