Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|ω|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为2π
• B． 函数f（x）的图象关于点（-$\frac{5π}{12}$.0）对称
• C． 将函数f（x）的图象向左平移$\frac{x}{6}$个单位得到的函数图象关于y轴对称
• D． 函数f（x）的单调递增区间是[kx+$\frac{7π}{12}$，kπ+$\frac{13π}{12}$]，（k∈Z）

Answer 1

分析 由函数f（x）的部分图象求出f（x）的解析式，根据解析式判断题目中的选项是否正确即可．

解答 解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象知，
A=2，
函数的周期为T=4（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=π，∴A错误；
由周期公式可得：ω=$\frac{2π}{π}$=2
由点（$\frac{π}{12}$，2）在函数图象上，可得：
2sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=2，可得：φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
∵x=-$\frac{5π}{12}$时，f（-$\frac{5π}{12}$）=-2≠0，∴函数f（x）的图象不关于点（-$\frac{5π}{12}$，0）对称，B错误；
把函数f（x）的图象向左平移$\frac{x}{6}$个单位，得到y=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的图象，
且图象不关于y轴对称，C错误；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
即kπ+$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{13π}{12}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间是[kx+$\frac{7π}{12}$，kπ+$\frac{13π}{12}$]，（k∈Z），D正确；
故选：D．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，以及判断命题真假的应用问题，是综合性题目．