Question

在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A＜B＜C，则cosAcosC的取值范围是（　　）

• A、(-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ]
• B、[-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ]
• C、（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ）
• D、（-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ）

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,等差数列的通项公式

专题：三角函数的求值

分析：由三角形的知识易得B=

π

3

，C=

2π

3

-A，A∈（0，

π

3

），进而可得cosAcosC=

1

2

sin（2A-

π

6

）-

1

4

，由角的范围和三角函数的知识可得．

解答： 解：∵在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A＜B＜C，
∴A+B+C=π，2B=A+C，解得B=

π

3

，C=

2π

3

-A，A∈（0，

π

3

），
∴cosAcosC=cosAcos（

2π

3

-A）=cosA（-

1

2

cosA+

3

2

sinA）
=-

1

2

cos²A+

3

2

sinAcosA=

1

2

sin（2A-

π

6

）-

1

4

∵A∈（0，

π

3

），∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

π

2

），
∴sin（2A-

π

6

）∈（-

1

2

，1），
∴

1

2

sin（2A-

π

6

）-

1

4

∈（-

1

2

，

1

4

）
故选：C

点评：本题考查三角函数的取值范围，涉及等差数列和三角形的知识，属基础题．