Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且其离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}$=2，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的方程的定义和离心率即可求出；
（2）A（x₀，y₀），则$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$．③$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=2$，得到x₀-（y₀-1）=2，④，解得即可．

解答 解：（1）因为椭圆C经过点$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，所以$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1$．①
因为椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即a²=2b²．②
联立①②解得，a²=2，b²=1．所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）由（1）得，椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，所以F（1，0），B（0，1）．
设A（x₀，y₀），则$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$．③
因为$\overrightarrow{BA}=（{x_0}，{y_0}-1），\overrightarrow{BF}=（1，-1）$，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=2$，
所以x₀-（y₀-1）=2，即y₀=x₀-1．④
联立③④解得，$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=0\\{y_0}=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{4}{3}\\{y_0}=\frac{1}{3}.\end{array}\right.$，所以A（0，-1）或$A（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆、圆的方程，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．