Question

4．若{$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$}为空间的一组基底，向量$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{AM}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$，则m+λ+μ的值是（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 根据题意，用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$，根据向量相等列出方程，求出m、λ与μ的值即可．

解答 解：∵{$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$}为空间的一组基底，
且向量$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$，
即$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$；
又$\overrightarrow{AM}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，
即$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+μ（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$），
∴（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（m-μ）$\overrightarrow{OC}$+（λ+μ）$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=0}\\{m-μ=0}\\{λ+μ=0}\end{array}\right.$，
解得λ=1，μ=-1，m=-1；
∴m+λ+μ=-1．
故选：B．

点评 本题考查了空间向量的线性运算问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目．