Question

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=

x

，那么在区间（-1，3）内，关于x的方程f（x）=kx+k（k∈R）有4个根，则k的取值范围为（　　）

• A、0＜k≤

  1

  4

  或k=

  3

  6

• B、0＜k≤

  1

  4

• C、0＜k＜

  1

  4

  或k=

  3

  6

• D、0＜k＜

  1

  4

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：在同一坐标系内作出y=f（x）图象和动直线l：y=kx+k，观察直线l可得：当已知方程有4个零点时直线l的活动范围应该在图中两条虚线之间，从而通过求直线斜率得到k取值范围．

解答： 解：∵偶函数f（x）当x∈[0，1]时，f（x）=

x

，
∴当x∈[-1，0]时图象与x∈[0，1]时关于y轴对称，
故x∈[-1，0]时f（x）=-

x

，
又∵f（x）是以2为周期的函数，
∴将函数f（x）在[-1，1]上的图象向左和向右平移2的整数倍个单位，可得f（x）在R上的图象．
∵直线l：y=kx+k经过定点（-1，0），斜率为k
∴直线l的图象是经过定点（-1，0）的动直线．（如图）

在同一坐标系内作出y=f（x）和动直线l：y=kx+k，当它们有4个公共点时，
方程f（x）=kx+k（k∈R，且k≠1）有4个根，
由两条虚线的斜率k₁=0，k₂=

1

4

，
故直线l的斜率0＜k≤

1

4

，
故选：B

点评：本题给出已知函数图象与动直线有4个公共点，求斜率k的取值范围，着重考查了函数的周期性、奇偶性和直线的斜率等知识点，属于中档题．