Question

已知函数f（x）=

sin(x-3π)cos(x+ π 2 )

tan(π-x)

+sin（2x+

π

3

）．
（1）求f（

π

12

）的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用诱导公式求得f（x）=-

1

2

sin2x+sin（2x+

π

3

），从而求得f（

π

12

）的值．
（2）进一步化简函数的解析式为f（x）=

3

2

cos2x，再根据余弦函数的增区间求得f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=

sin(x-3π)cos(x+ π 2 )

tan(π-x)

+sin（2x+

π

3

）=

-sin(3π-x)•(-sinx)

-tanx

+sin（2x+

π

3

）=

sinx•sinx

-tanx

+sin（2x+

π

3

）
=-sinxcosx+sin（2x+

π

3

）=-

1

2

sin2x+sin（2x+

π

3

），
∴f（

π

12

）=-

1

2

sin

π

6

+sin

π

2

=-

1

4

+1=

3

4

．
（2）由于f（x）=-

1

2

sin2x+sin（2x+

π

3

）=-

1

2

sin2x+sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

=

3

2

cos2x，
令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得kπ-

π

2

≤x≤kπ，故f（x）的增区间为[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的增区间，属于中档题．