Question

13．已知函数f（x）=lnx-ax，（a∈R，x＞0）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，f（x）=lnx-2x，则f′（x）=$\frac{1-2x}{x}$ （x＞0），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得x范围即可得出单调区间．
（2）由f（x）=lnx-ax，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{-ax+1}{x}$，（x，a＞0），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得x范围，函数f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上单调递增，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上单调递减．对a与1，2的大小关系分类讨论即可得出单调区间及其最值．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=lnx-2x，则f′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$ （x＞0），
令f′（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得x$＞\frac{1}{2}$．
故函数f（x）的单调递增区间为$（0，\frac{1}{2}）$，单调减区间为$（\frac{1}{2}，+∞）$．
（2）由f（x）=lnx-ax，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{-ax+1}{x}$，（x，a＞0），
令f′（x）＞0，解得$0＜x＜\frac{1}{a}$．令f′（x）＜0，解得$x＞\frac{1}{a}$．
∴函数f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上单调递增，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上单调递减．
①当$0＜\frac{1}{a}≤1$时，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是（2）=ln2-2a．
②当$\frac{1}{a}$≥2，即0$＜a≤\frac{1}{2}$时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．
③当$1＜\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}＜a＜1$时，函数f（x）在$[1，\frac{1}{a}]$上是增函数，在$[\frac{1}{a}，2]$是减函数．
又f（2）-f（1）=ln2-a，∴当$\frac{1}{2}＜a＜$ln2时，最小值是f（1）=-a；
当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2-2a．．
综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．

点评 本题考查了利用导数研究函数单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．