Question

8．已知双曲线x²-$\frac{y^2}{2}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在直线l：$\sqrt{3}$x-2y+6=0上，当∠F₁PF₂取最大值时，$\frac{{|{P{F_1}}|}}{{|{P{F_2}}|}}$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据平面几何知识知，当∠F₁PF₂取最大值时，经过F₁与F₂，的圆与直线l相切，此时圆心在y轴上，求出A，B的坐标，利用△BPF₁∽△BF₂P，即可得出结论．

解答 解：根据平面几何知识知，当∠F₁PF₂取最大值时，经过F₁与F₂，的圆与直线l相切，此时圆心在y轴上，设坐标为A（0，y），则
$\sqrt{3+{y}^{2}}$=$\frac{|-2y+6|}{\sqrt{7}}$，可得A（0，-2+$\sqrt{21}$）
在直线l：$\sqrt{3}$x-2y+6=0=0中令y=0得B的坐标：
B（-2$\sqrt{3}$，0），
在三角形BPF₁和三角形BF₂P中，∠BPF₁=∠BF₂P，
∴△BPF₁∽△BF₂P，
∴$\frac{{|{P{F_1}}|}}{{|{P{F_2}}|}}$=$\frac{PB}{B{F}_{2}}$=$\frac{9}{3\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．