Question

18．不等式3${\;}^{{x^2}-3x}}$≤9^3x-4的解集为M，求函数f（x）=log₂（4x）log₂$\frac{x}{16}$（x∈M）的值域．

Answer 1

分析 根据指数的基本运算求解M，在根据对数函数的性质利用x∈M计算值域即可．

解答 解：由题意3${\;}^{{x^2}-3x}}$≤9^3x-4，可得：x²-3x≤6x-8；
解得：1≤x≤8．
故得M={x|1≤x≤8}．
∵函数f（x）=log₂（4x）log₂$\frac{x}{16}$=（log₂4+log₂x）（log₂x-log₂16）
令log₂x=t，
∵x∈M
∴t∈[0，3]
那么：f（t）=（2+x）（x-4）=x²-2x-8．
开口向上，对称轴x=1，
当x=1时，取得最小值为-9，
当x=3时，取得最大值为-5．
所以：函数f（x）的值域[-9，-5]．

点评 本题考查了指数的运算和对数的计算，利用换元法，转化成二次函数都值域．属于中档题．