Question

10．过点（-1，$\sqrt{3}$）且与直线$\sqrt{3}$x-y+1=0的夹角为$\frac{π}{6}$的直线方程为x+1=0或x-$\sqrt{3}y$+4=0．

Answer 1

分析 直线$\sqrt{3}$x-y+1=0的斜率为$\sqrt{3}$，设所求直线的斜率为k，由过点（-1，$\sqrt{3}$）且与直线$\sqrt{3}$x-y+1=0的夹角为$\frac{π}{6}$，得到tan$\frac{π}{6}$=|$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$|，由此能求出结果．

解答 解：直线$\sqrt{3}$x-y+1=0的斜率为$\sqrt{3}$，设所求直线的斜率为k，
∵过点（-1，$\sqrt{3}$）且与直线$\sqrt{3}$x-y+1=0的夹角为$\frac{π}{6}$，
∴tan$\frac{π}{6}$=|$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$|，
∴$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得3k-3$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}+3k$，k不存在，此时直线方程为x+1=0，
由$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得 $\sqrt{3}+3-3+3\sqrt{3}$，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
此时直线方程为y-$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），即x-$\sqrt{3}y$+4=0．
∴过点（-1，$\sqrt{3}$）且与直线$\sqrt{3}$x-y+1=0的夹角为$\frac{π}{6}$的直线方程为x+1=0或x-$\sqrt{3}y$+4=0．
故答案为：x+1=0或x-$\sqrt{3}y$+4=0．

点评 本题考查直线方程的求法，涉及到直线方程、斜率公式、夹角公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．