Question

16．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“$\frac{周实际回收水费}{周投入成本}$”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：

	第一周	第二周	第三周	第四周
第一个周期	95%	98%	92%	88%
第二个周期	94%	94%	83%	80%
第三个周期	85%	92%	95%	96%

（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数$\overline{x}$；
（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；
（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．

Answer 1

分析 （1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数．
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（3）两次活动效果均好，活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．

解答 解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：
$\overline{x}$=$\frac{95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96}{12}$×$\frac{1}{100}$=91%．
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{1}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{2}{64}$，
P（X=1）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{2}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{14}{64}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{3}{4}=\frac{30}{64}$，
P（X=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{3}{4}=\frac{18}{64}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{15}{32}$	$\frac{9}{32}$

EX=$0×\frac{1}{32}+1×\frac{7}{32}+2×\frac{15}{32}+3×\frac{9}{32}$=2．
（3）两次活动效果均好．
理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，
后继一周都有提升．

点评 本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要 认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．