Question

11．已知函数f（x）=mlnx+（4-2m）x+$\frac{1}{x}$（m∈R）．
（1）当m=2时，求函数f（x）的极值；
（2）设t，s∈[1，3]，不等式|f（t）-f（s）|＜（a+ln3）（2-m）-2ln3对任意的m∈（4，6）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）问题等价于对任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2-m）-2ln3＞5-2m-mln3-$\frac{1}{3}$-12+6m成立，即（2-m）a＞$\frac{2}{3}$-4（2-m），根据m＞2，分离a，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数的定义域是（0，+∞），
m=2时，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
故函数f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
故f（x）的极小值是f（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2，无极大值；
（2）f′（x）=$\frac{（2x-1）[（2-m）x+1]}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{1}{2-m}$，
m∈（4，6）时，函数f（x）在[1，3]递减，
∴x∈[1，3]时，f（x）_max=f（1）=5-2m，f（x）_min=f（3）=mln3+$\frac{1}{3}$+12-6m，
问题等价于：对任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2-m）-2ln3＞5-2m-mln3-$\frac{1}{3}$-12+6m成立，
即（2-m）a＞$\frac{2}{3}$-4（2-m），
∵m＞2，则a＜$\frac{2}{3（2-m）}$-4，
∴a＜（ $\frac{2}{3（2-m）}$-4）_min，
设m∈[4，6），则m=4时，$\frac{2}{3（2-m）}$-4取得最小值-$\frac{13}{3}$，
故a的范围是（-∞，-$\frac{13}{3}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．