题目内容
在平面直角坐标系中，已知向量
=（x，y-2），
=（kx，y+2）（k∈R），若|
+
|=|
-
|．
（1）求动点M（x，y）的轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；
（2）当k=
时，已知F1（0，-1）、F2（0，1），点P轨迹T在第一象限的一点，且满足|
|-|
|=1，若点Q是轨迹T上不同于点P的另一点，问是否存在以PQ为直径的圆G过点F2，若存在，求出圆G的方程，若不存在，请说明理由．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求动点M（x，y）的轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；
（2）当k=
| 4 |
| 3 |
| PF1 |
| PF2 |
考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算
专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用|
+
|=|
-
|，可得
⊥
，结合
=（x，y-2），
=（kx，y+2），可得kx2+y2-4=0，分类讨论，即可得出结论；
（2）求出P的坐标，设Q（x，y），存在以PQ为直径的圆G过点F2，则F2P⊥F2Q，可得Q的坐标，即可求出圆G的方程．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）求出P的坐标，设Q（x，y），存在以PQ为直径的圆G过点F2，则F2P⊥F2Q，可得Q的坐标，即可求出圆G的方程．
解答：
解：（1）∵|
+
|=|
-
|，
∴
⊥
，
∵
=（x，y-2），
=（kx，y+2），
∴kx2+y2-4=0，
k=0时，y2-4=0，表示直线；
k≠0时，方程为
+
=1，k＜0表示双曲线；0＜k＜1表示焦点在x轴上的椭圆；k=1表示圆；k＞1表示焦点在y轴上的椭圆；
（2）当k=
时，方程为
+
=1．
|
|-|
|=1＜|F1F2|，故P满足方程
-
=1（x＞0，y＞0），
两方程联立可得P（
，1）
设Q（x，y），存在以PQ为直径的圆G过点F2，则F2P⊥F2Q，
∴（
，0）•（x，y-1）=0，
∴x=0，
∴y=±2，
∴Q（0，±2），
Q（0，2），此时PQ的中点（
，
），|PQ|=
=
，∴圆G的方程为（x-
）2+（y-
）2=
；
Q（0，-2），此时PQ的中点（
，-
），|PQ|=
=
，∴圆G的方程为（x-
）2+（y+
）2=
．
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
∵
| a |
| b |
∴kx2+y2-4=0，
k=0时，y2-4=0，表示直线；
k≠0时，方程为
| x2 | ||
|
| y2 |
| 4 |
（2）当k=
| 4 |
| 3 |
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 4 |
|
| PF1 |
| PF2 |
| y2 | ||
|
| x2 | ||
|
两方程联立可得P（
| 3 |
| 2 |
设Q（x，y），存在以PQ为直径的圆G过点F2，则F2P⊥F2Q，
∴（
| 3 |
| 2 |
∴x=0，
∴y=±2，
∴Q（0，±2），
Q（0，2），此时PQ的中点（
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
|
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 13 |
| 16 |
Q（0，-2），此时PQ的中点（
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
|
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 45 |
| 16 |
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
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