Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+3a₂=

2

3

，a₃²=81a₄a₆
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿlog₃a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），由已知列式求得等比数列的首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=2ⁿlog₃a_n，然后利用错位相减法求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₁+3a₂=

2

3

，得3a₁（1+3q）=2  ①，
又a32=81a4a6，得a32=81a3q4，即q=

1

3

．
把q=

1

3

代入①得，a1=

1

3

．
∴an=

1

3n

；
（2）b_n=2ⁿlog₃a_n=2nlog33-n=-n•2n，
∴Sn=-1•21-2•22-3•23-…-n•2n，
2Sn=-1•22-2•23-3•24-…-n•2n+1，
作差得：Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．