题目内容
已知向量
=（cos
x，sin
x），
=（cos
，-sin
），且x∈[0，
]，
（1）求
•
及|
+
|；
（2）求函数f（x）=
•
-2|
+
|的最小值；
（3）若f（x）=
•
-λ|
+
|的最小值是-
，求实数λ的值．
| a |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| b |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| π |
| 2 |
（1）求
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）求函数f（x）=
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）若f（x）=
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| 2 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用向量数量积公式和余弦加法定理能求出
•
=cos2x．从而得到（
+
）2=
2+2
•
+
2=2+2cos2x
=4cos2x，x∈[0，
]，由此能求出|
+
|=2cosx．
（2）f（x）=
•
-2|
+
|=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1，由此利用配方法能求出其最小值．
（3）f（x）=
•
-λ|
+
=2（cosx-λ）2-2λ2-1，由此利用分类讨论思想能求出实数λ的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
=4cos2x，x∈[0，
| π |
| 2 |
| a |
| b |
（2）f（x）=
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）f（x）=
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：
解：（1）∵向量
=（cos
x，sin
x），
=（cos
，-sin
），且x∈[0，
]，
∴
•
=cos
cos
-sin
sin
=cos（
+
）
=cos2x．
∵（
+
）2=
2+2
•
+
2
=2+2
•
=2+2cos2x
=4cos2x，x∈[0，
]，
∴|
+
|=2cosx．
（2）由（1）知f（x）=
•
-2|
+
|=cos2x-2cosx
=2cos2x-2cosx-1
=2（cosx-
）2-
，
∵x∈[0，
]，
∴cosx=
，即x=
时，f（x）=
•
-2|
+
|取最小值-
．
（3）f（x）=
•
-λ|
+
=cos2x-4λcosx
=2cos2x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）2-2λ2-1，
若λ＞1，f（x）min=1-4λ＜-3，与题意不符；
若λ＜0，f（x）min=-1，与题意不符；
若0≤λ＜1，f(x)min=-2λ2-1，
由-2λ2-1=-
，λ∈[0，1]，得λ=
，
∴实数λ的值为
．
| a |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| b |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴
| a |
| b |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
=cos（
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
=cos2x．
∵（
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
=2+2
| a |
| b |
=2+2cos2x
=4cos2x，x∈[0，
| π |
| 2 |
∴|
| a |
| b |
（2）由（1）知f（x）=
| a |
| b |
| a |
| b |
=2cos2x-2cosx-1
=2（cosx-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴cosx=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| 2 |
（3）f（x）=
| a |
| b |
| a |
| b |
=cos2x-4λcosx
=2cos2x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）2-2λ2-1，
若λ＞1，f（x）min=1-4λ＜-3，与题意不符；
若λ＜0，f（x）min=-1，与题意不符；
若0≤λ＜1，f(x)min=-2λ2-1，
由-2λ2-1=-
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴实数λ的值为
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查数量积的运算及其应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．
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