Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x+1，a∈R
（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义，建立条件故选即可求出a的值；
（Ⅱ）根据函数单调性和导数之间的故选即可求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）直线2x+y=0的斜率k=-2，
若f（x）在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直，
则f′（2）=

1

2

，
∵f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x+1，
∴f′（x）=

1

x

-ax-2，
则f′（2）=

1

2

-2a-2=

1

2

，
解得a=-1；
（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，
即f′（x）=

1

x

-ax-2＜0在（0，+∞）上有解，
即

1

x

-2＜ax，则a＞

1-2x

x2

，
设g（x）=

1-2x

x2

，则g（x）=（

1

x

）²-2•

1

x

=（

1

x

-1）²-1≥-1，
则a＞-1．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数单调性和导数之间关系是解决本题的关键．